9 марта 2014, 09:15 | 1 875 просмотров
Цели:
1. Образовательная: выработать умение решать системы уравнений второго порядка с двумя переменными различными способами. 2. Развивающая: развивать логическое мышление у учащихся, вырабатывать умение систематизировать и обобщать. 3.Воспитательная: воспитывать навыки учебного труда, ответственность за конечный результат, поддерживать интерес к изучае¬мому предмету. Обо¬рудование урока: компьютер, проектор, экран. Ход урока
I. Организационный момент.II. Актуализа¬ция знаний учащихся.III. Объяснение нового материала.1.Определение системы нелиней¬ных уравнений. 2.Спо¬собы решения систем уравнений второго по¬рядка с двумя переменными. А. Способ алгебраического сложения. Б. Способ подстановки. В. Графический способ. Г. Способ введения новой переменной. А. Способ алгебраического сложения. Для решения системы способом алгебраиче¬ского сложения используется следующий ал¬горитм:
1) умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициен¬ты при одной из переменных стали противопо¬ложными числами;
2) cложить почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решить получившее¬ся уравнение с одной переменной; 4) найти соответствующее значение второй переменной;
5) записать ответ в виде пар числовых зна¬чений переменных.
Пример 1. Решим систему уравнений
Решение. В уравнениях данной системы показатели степени у равны, а коэффициенты являются противоположными числами, по¬этому уравнения системы можно сложить, и тогда получим:
2х = 32, х = 16, х =- 4, х = 4.
Подставляя значение х во второе уравнение системы найдем соответствующее значение у
х =- 4, тогда (- 4) - у = 7, 16 - у = 7, у = 9;
х = 4, тогда (- 4) - у = 7, 16 - у = 7, у = 9;
Ответ: ( -4; 9 ), ( 4; 9 )
Б. Способ подстановки.
Данный способ вы применяли при решении систем линейных уравнений с двумя перемен¬ными, используя следующий алгоритм:
1) в одном из уравнений системы ( из урав¬нения первой степени) нужно выразить одну переменную через другую;
2)подставить полученное выражение во второе уравнение (в уравнение второй степе¬ни) для получения уравнения с одной пере¬менной;
3) решить полученное уравнение с одной переменной ;
4) найти соответствующее значение второй переменной;
5) записать ответ в виде пар числовых зна¬чений переменных.
Пример 2. Решим систему уравнений
Решение. Разложим левые части уравне¬ний на множители:
Выразим х – у через переменную х из второго уравнения ( х 0):. Подставим его в первое уравнение откуда
Подставляя выражение у во второе уравне¬ние последней системы, имеем
-3х2 = -3 или х2 = 1, тогда х1 = 1, х2 = -1, соответственно: у = 4 и у = -4.
Ответ: ( 1; 4 ), ( -1; - 4 )
В. Графический способ.
Для большей наглядности систему второго порядка с двумя переменными целесообразно решить графическим способом по следующе¬му алгоритму:
1) нужно рассмотреть одну из переменных системы уравнений как аргумент, а другую - как функцию;
2) построить графики уравнений системы в одной прямоугольной системе координат;
3) определить координаты точек пересече¬ний графиков уравнений;
4) записать ответ в виде пар числовых зна¬чений переменных.
Пример 3. Решим систему уравнений
Решение. Введем обозначения а = х + у, b = ху
Получим систему
Решим полученную систему способом под¬становки.
Тогда Отсюда
Возвращаясь к переменным х и у, получим
Для решения последней системы использу¬ем способ подстановки.
Тогда
Решим квадратное уравнение: у2 – 3у + 2 = 0. Получим , у = 1, у = 2.
Найдем соответствующие значения пере¬менной х.
х = 2, х =1.
Ответ: ( 2; 1 ), ( 1; 2 )
3. Историческая справка.
Найденные древневавилонские тексты сви¬детельствуют о том, что в III-II тысячелетиях до н.э. было немало задач, решаемых с помо¬щью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения второй степени.
Решением систем уравнений с двумя неиз¬вестными занимался и древнегреческий ма¬тематик Диофант Александрийский в своей работе «Арифметика», из 13 книг сохранилось только 6. Он жил в 3 веке н.э.
Предлагаю вашему вниманию задачу Дио¬фанта из его «Арифметики».
IV. Закрепление изученного материала.
V. Домашнее задание.
VI. Итог урока