Пифагор теоремасын оқытудың инновациялық тәсілдері

Автор: Абыканова Айнур Ахметовна, математика пәні мұғалімі, №38 мектеп-гимназиясы,

Алматы облысы, Іле ауданы, Қазақстан Республикасы

Пифагор сандарының қасиеттері

Пифагор теңдеуінің барлық шешімдерінің немесе мүмкін болатын барлық пифагор сандарының әзірге толық  табылмай отырғанын жоғарыда айттық. Ол тәсілді табу үшін алдымен  пифагор сандарының қасиеттерін зерттейміз.

1-қасиет.  Пифагор тәсілімен табылатын пифагор сандарының біріншісі барлық жағдайда тақ сан, ал үшіншісі мен екіншісінің айырмасы  1-ге тең болады. Шынында да кез келген  n үшін  z-y=(n²+1)/2 – (n²-1)/2=1,  z-y =2n²+2n+1-(2n²+2n)=1 болады.

2-қасиет.  Платон тәсілімен  табылатын пифагор сандарының  біріншісі барлық жағдайда жұп сан, ал үшіншісі мен екіншісінің айырмасы 2-ге тең болады. Шынында осындағы барлық  n үшін z-y = (n/2)²+1 –( (n/2)²-1) =2 болады.

 3-қасиет. Пифагор сандарының бірінші мүшесі жай сан болса, онда оның екінші және үшінші мүшелері барлық жағдайда іргелес (қатар,тетелес) сандар болады. (Дәлелдеуін кейінірек келтіреміз).

4-қасиет. Егер (a,b,c) – пифагор саны болса, онда кез келген оң  бүтін k саны үшін (ka,kb,kc) саны да пифагор саны болады. Шынында да (a,b,c) – пифагор саны болғандықтан  a²+b²=c² қатысы орындалады. Енді (ka)²+(kb²)=(kc)² болатынын көрсету жеткілікті. Шынында (ka)²+(kb)²=k²a²+k²b²=k²(a²+b²)=k²c²=(kc²).

5-қасиет. (3,4,5) үштігінен басқа, мүшелері қатар (іргелес) сандар болатын пифагор саны болмайды. Бұл қасиетті дәлелдеу үшін ол сандарды  а, а+1,a+2 деп алайық. Сөйтіп оларды (1) теңдікке қойсақ, a²+(a+1)²=(a+2)² теңдеуі шығады. Оны ықшамдап  шешсек, бір ғана a=3 натурал шешімі табылады. Яғни, бұл — іргелес сандардан тұратын (3,4,5) үштігінен басқа пифагор санының болмайтынын білдіреді.

6-қасиет. Мүшелері іргелес жұп сандар болатын пифагор саны да біреу ғана болады, ол – (6,8,10) үштігі. Бұны дәлелдеу үшін кез келген  a, a+2, a+4 сандарын алып, a²+(a+2)²=(a+4)² теңдеуін шешу жеткілікті. Оны түрлендіріп шешкенде  натурал а=6 шешімі ғана табылады. Онда бұл пифагор саны  да жалғыз (6,8,10) болғаны.

1-ден басқа ортақ бөлгіштері жоқ пифагор сандарын қысқармайтын пифагор сандары, кейде негізгі пифагор сандары деп атайды.

 Пифагор сандарының бұлардан басқа да бірнеше қасиеттері бар. Біз  әзірге осы қасиеттерді ғана қарастыратын боламыз.

Пифагор теоремасының жаңа шешімі

«Математика және физика» журналының 2020 жылғы №3 санындағы «Есептер бұрышындағы» оқырмандарға ұсынылған жеті есептің авторы Қалмырза Ізтілеуұлы –  мектепте жарты ғасырдай шәкірт оқытқан ұстаз, әрі Түркістан облысында шығарылып жүрген «Мектептегі математика» журналының бас редакторы. Осы журналды жаздырып алып оқи жүріп, жаңашыл ұстаздың  Пифагор теңдеуін шешу тәсілдерін қарастырдым. Оның мектепте математиканы оқыту тәжірибесінен жазған бұрынғы еңбектерін зерттей отырып, автордың өзі қорытып шығарған трапецияның ауданын есептейтін формулаларымен таныстым.

Ізтілеуұлы жоғарыда сөз еткен «Мектептегі математика» журналының 2019 жылғы №1 санында «Пифагор теңдеуін шешудің жаңа тәсілі» атты мақаласында  

x²+y²=z²   (1)

Пифагор теңдеуін шешетін, ғылымдағы бұрынғы формулалардан өзгеше, мына формулаларды қорытып шығарады:

x,  ,  z=y+k     (2).        x,  ,     (3).

мұндағы  х – мәні берілген катет, y – екінші катет,  z – гипотенуза,  k – жұптығы  х-тің жұптығымен бірдей, оның өзінен кіші бөлгіштері мен олардың кейбір көбейтінділері. Мұндағы (2) формула Пифагор үшбұрышының бір катетінің берілген мәні бойынша екінші катеті мен гипотенузасын табу кезінде қолданылса, ал (3) формула гипотенузаның мәнін екінші катеттің мәнінсіз табу үшін пайдаланылады.

 Сонымен бірге Ізтілеуұлы гипотенузасы берілген кейбір Пифагор үшбұрышының катеттерін табудың өзіндік заңдылығын анықтап, оны мынадай теорема етіп тұжырымдайды.

Теорема. Егер Пифагор үшбұрышының гипотенузасы  z= 4k+1 түріндегі  жай сан болса, онда  оның катеттері  x=m²-n²,   y=2mn (4)  формулаларымен есептеледі.

Бұл теореманы  Ферма теоремасы мен Эвклидтің пифагор сандарын табу формулаларын пайдалана отырып тұжырымдап, дәлелдеген. Сондықтан бұл жерде Ферма теоремасы мен Эвклидтің формулаларын да таныстыра кеткен орынды болады..

Ферма теоремасы. 4k+1 түріндегі әрбір жай сан екі натурал санның  квадраттарының қосындысына тең болады.

Егер мұндағы қосылғыштардың ретін елемесек, бұндай жай санды екі натурал санның квадраттарының қосындысына жалғыз ғана тәсілмен жіктеуге болады.  

Эвклид формуласы: x=m²-n², y=2mn, z=m²+n²  (5).

Ізтілеуұлы 8-сыныпта трапецияны оқыту кезінде трапецияның  бұрын белгісіз болып келген бірнеше қасиетін анықтап, оларды трапецияның ауданын табуда қолданып келеді. Оның кейбірі былай тұжырымдалады.

Теорема. Трапецияның ауданы оның диагональдарының үлкен табанға немесе оның созындысына түсірілген проекцияларының қосындысының немесе айырмасының жартысы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең.

Бұл заңдылықтың формула түрінде жазылуы:          (6),

мұндағы  S – трапецияның ауданы,  Пd_1, Пd₂ – трапецияның  диагональдарының проекциялары,  h – трапецияның биіктігі.

            Бұл заңдылық тең бүйірлі трапеция үшін былай тұжырымдалады.

            Салдар. Тең бүйірлі трапецияның ауданы оның диагоналының үлкен табанға түсірілген проекциясы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең.   Яғни           (7).

            Енді берілген есептердің шешімдерін табайық.

1-есеп.  Бір катеті 36-ға тең қанша Пифагор үшбұрышы бар?

Шешуі. Қабырғаларының ұзындықтары бүтін сандармен өлшенетін тік бұрышты үшбұрыштың «Пифагор үшбұрышы» деп аталатыны белгілі. Есептің шарты бойынша Пифагор үшбұрышының белгілі катеті  x=36. Енді осы 36-ның бөлгіштерін табамыз, олар: 1,2,3,4,6,9,12,18,36. Бұдан жоғарыда айтылған шарттарды қанағаттандыратын  k=2,4,6,8,12,16,18,24 () мәндері табылады.

К-ның осы мәндерін (2) формулаға қоя отырып, бір катеті 36-ға тең болатын Пифагор үшбұрыштарын табамыз.

1) k=2, =323, z=323+2=325,  яғни (36,323,325); 

2) k=4, y=160, z=164, (36,160,164); 

3) k=6, y=105, z=111, (36,105,111); 

4)  k=8, y=77, z=85, (36,77,85); 

5) k=12, y=48, z=60, (36,48,60);

6) k=16, y=32, z=48, (36,32,48);

7) k=18, y=27, z=45,  (36,27,45); 

8) k=24, y=15, z=39, (36,15,39).

Сөйтіп, есептің  (36,323,325); (36,160,164);  (36,105,111);  (36,77,85);  (36,48,60); (36,32,48); (36,27,45); (36,15,39) сияқты сегіз шешімі табылды.

2-есеп. Гипотенузасы 61-ге тең Пифагор үшбұрышының ауданын табыңыз.

Шешуі Есеп шартындағы Пифагор үшбұрышының гипотенузасы     яғни мұндағы  m=6, n=5 болғаны. Осыдан кейін,  үшбұрыштың катеттерін (4) формулалармен табудың ешбір қиындығы болмайды:  x=m²-n²=36-25=11,  . Онда үшбұрыштың ауданы   болғаны.

Пифагор теоремасының жаңа шешімі арқылы үшбұрыштың бірнеше үштіктерін, ауданын таптық.